[第2课] 积分学

主题：积分学的历史可以追溯到公元前古希腊时代（微分学的历史则要大大缩短），通过在圆的面积计算中欧多克索斯、阿基米德和刘徽等人的穷竭法和割圆术，到牛顿和莱布尼兹的微积分这二千多年发展历史几个关键“截面”的介绍，试图讲述其中关键和困难所在，以及数学抽象在其中如何起作用。随后，介绍后期微积分严格化过程中数学抽象的必要性和分析科学的一些具体走向。

[第3课] 函数空间

主题：从“二点间直线的长度”的距离讲到数学中“距离”抽象定义的必要性和特点。接着，当把函数看成一个“点”时，通过讲述人们通常的处理办法，以及接踵而来的困境，逐步导出一系列的空间，最后引出无穷维线性拓扑空间。在不断解决问题和产生问题的过程中提出部分线性泛函分析最重要的概念和定理。着重介绍泛函分析中，数学家思想的自由产物――函数空间和相关性质在科学中的重要作用。

[第4课] 不动点定理

主题：从一杯搅动的咖啡表面是否有不动的点开始，看如何抽象出数学问题，并与同学熟悉的微积分的定理相联系。接着，讲述不动点定理的各种形式和应用。最后，讲到布劳威尔(Brouwer)定理与一般经济均衡价格的存在问题的Debreu-Gale-Nikaido定理（美籍法裔经济学家G.Debreu因此获1983年诺贝尔经济学奖）的关系。试图就不动点原理展示如何就最简单情形抽象出一般问题的提法并给出一般定理；如何逐步推广到一般情形，并不断改变问题的提法；如何建立一般的理论并应用到不同的实际问题中。

[第5课] Fourier分析

主题：从琴弦到声音的本质开始，讲述简谐振动和函数从频谱上的分解。介绍Fourier分析漂亮的思想和它的引人注目的应用。一方面涉足函数分解正交形和完备性；另一方面涉足Fourier分析导出的拟微分算子和微局部分析。当然这仅仅是提到这样抽象的必要性和问题提出的背景与逻辑。最后，提到小波的一些基本概念。

[第6课] 混沌与分形

主题：任意一段海岸线在不同尺度下可以是完全不同的长度”，这可能是令人诧异的命题。从这里我们引出分形、混沌以及Hausdorff测度和维数的概念，着重介绍用以描述对象的复杂程度的Hausdorff维数这一抽象概念的深刻性和重要应用。同时，在介绍由非线性迭代产生的混沌这一复杂现象时，强调在无序的背后隐藏了有序（例如自相似性），以及随机和确定性在这里的统一性，凸显数学抽象在揭示造物主的密码时所表现出的人类心智的荣耀。