[第1课] 全序集和偏序集

主题：这一讲首先介绍了全序的概念[0:00:49]，并介绍了全序关系所需要满足的四个条件，举出了相应的几个例子。之后介绍了偏序的概念[0:13:37]，介绍了偏序定义，以及它和全序之间定义的异同，并举出了相应的几个例子。最后一部分举例讲解了哈斯图[0:29:44]，哈斯图是有限元素数量时，表示偏序关系的一种很有效的方式。

[第2课] 完备度量空间

主题：这一讲首先复习了完备度量空间的概念，完备度量空间是指每个柯西序列都收敛的度量空间[0:00:51]，并讨论了可完备度量化空间的概念。第二部分内容是关于贝尔纲定理[0:18:33]，贝尔纲定理的一种常用形式是：一个完备度量空间的稠密开子集序列的交集仍然是稠密的。之后为了证明一个相关引理，课上回顾了区间套定理[0:26:17]。最后以一个贝尔纲定理的相关例子结束了这一讲的讨论[0:36:14]。

[第3课] 度量和拓扑空间复习

主题：这一讲是通过往年考卷，对度量和拓扑空间部分知识的复习。课上讲的第一个题是关于使用子空间度量后，度量空间的子空间的完备性问题。之后讲解了使用函数生成伪度量。再之后继续探讨第一个题目中的另一个问题，关于子空间的序列紧致性。最后讲的一个题目是：给出一个开区间(-1,1)上度量d'的例子，要求d'等价于(-1,1)上的通常度量，使得R使用其通常度量，等距于使用新度量d'的(-1,1)。

[第4课] 完备度量空间II

主题：这一讲首先对第二讲的内容进行了复习，之后对闭球套相关的引理1.4进行证明，之后详细介绍了稠密的定义，并在前面内容的基础之上，对定理1.5——贝尔纲定理（一个完备度量空间的稠密开子集序列的交集仍然是稠密的）进行了证明，之后讲到了无理数集的例子。最后一部分讲解了贝尔纲定理及相关诸推论的一些注意事项。

[第5课] 完备度量空间III

主题：这一讲继续考虑完备度量空间，并首先对之前的内容进行了复习。之后为证明推论1.7给出了孤立点的定义。之后通过反证法，用贝尔纲定理证明了推论1.7（设(X,d)为完备度量空间使得X是可数无限的，那么X必然有无限多个孤立点）。之后讨论了贝尔纲定理其它形式。为此，课上介绍了无处稠密集的定义，并给出了1.9和1.10两个贝尔纲定理的推论。

[第6课] 无限乘积和吉洪诺夫定理

主题：这是第5讲利用剩下的十分钟时间对无限乘积和吉洪诺夫定理进行的简单介绍。在引入无限乘积的讨论之前，课上先讲了有限乘积的情况，顺便对度量和拓扑空间内容进行了复习[0:01:00]。在定义中描述了拓扑基、坐标投影等等。

[第7课] 讨论课

主题：这一堂课是偏序集及选择公理、佐恩引理的讨论课，主要是老师和学生之间的问答和互动。了解佐恩引理及如何应用是重点，这将在未来的证明中经常出现。课上介绍了佐恩引理、选择公理、豪斯多夫极大定理之间的等价关系，并介绍了选择公理存在的一些问题。

[第8课] 讨论课II

主题：之前因为线路出现问题，所以重新录像。这里仍然延续了之前的问题。首先讲解选择公理的一种表述，即对任意集族，可从该集族中的每一非空集合中“选择”一个元素。介绍了选择函数这一概念。之后讲到一个例子，关于在自然数集中明确定义一个选择函数，并将此推广到了任意可数集的情况。之后讲到了选择公理和良序原则、吉洪诺夫定理等之间的关系，以及存选择公理在的一些问题。最后给出了一个练习。

[第9课] 无限乘积和吉洪诺夫定理II

主题：这一堂课首先对第5讲中讨论的内容进行了复习，并进一步讲解了有限乘积空间方面的内容。之后开始转到无限乘积空间的讨论[0:10:40]，首先通过一个定义，讨论了指标集和序列的函数本质，并给出了例子。之后介绍了无限乘积时的坐标投影、积拓扑及基等方面的内容，以及各种要注意的问题。之后引入吉洪诺夫定理（任意个紧致空间的乘积空间对于乘积拓扑是紧致的），并介绍了有限交集性质。

[第11课] 无限乘积和吉洪诺夫定理III

主题：这一堂课继续上一讲对吉洪诺夫定理进行证明，并结束了无限乘积和吉洪诺夫定理这一节。首先课上对第08讲的证明进行了回顾。之后接着之前的证明，引入乘积空间的性质进行证明，再然后引入了积拓扑的定义，最后完成证明并进行了相关评述。

[第12课] 赋范空间和巴拿赫空间

主题：这是第09讲的后半部分，利用剩余的10分钟时间，对赋范空间和巴拿赫空间这一节进行了简单介绍，并以此拉开了第三章的序幕。这一讲介绍了范数的定义，并对范数的性质进行了相关评述。最后给出了一些范数的例子。