[第2课]
用有限刻画无穷——从欧几里得第五公设到极限的定义
主题:数学刻画无穷的重要手段是极限。但是为什么要采取 ε-N、ε-δ 这样“有些奇怪”的语言来描述极限过程呢?本讲把问题回溯到古希腊时期,通过分析欧几里得的平行公设如何使用特别措辞,十分巧妙地处理无穷和有限的关系,说明今天的数学思想正是古希腊数学文化的一种传承。用有限的数量关系,肯定的语言描述了极限这样一个无穷的变动过程,使不可能达到的无穷状态利用有限的数字加以验证和刻画。
[第3课]
牛顿-莱布尼茨公式(微积分基本定理)
主题:这一讲采用了“原汁原味”的(但是简明易懂的)数学方式来研究问题。1.通过实例,一步一步地抽象出定积分的定义;2. 从速度函数、路程函数的实例中“看到”微分、积分的内在联系,通过“联想”导出牛顿-莱布尼茨公式;3.简单演示了严格的数学证明。使听众感悟到数学研究的思想方法,展示了严格的数学描述的魅力。
[第4课]
极大和极小——问题的转化与化归
主题:极值问题是数学研究的重要内容之一,化归方法是数学方法论中的基本方法之一。本讲从3个实际问题出发,重点讲解如何转换观点、使用化归的方法研究数学问题。包括最佳视角问题,光线传播问题,特别是通过研究最速下降曲线的例子,使用微元法把问题线性化,再运用化归的数学方法把它转换为已知的光线折射定理,导出曲线满足的微分方程。例子生动有趣,展示了数学的发展脉络。
[第5课]
无穷级数求和——类比与猜想
主题:无穷级数理论是数学分析中的重要内容。本讲从两个级数求和的例子出发,通过中学数学的韦达定理(根和系数关系),运用类比和猜想,特别是从有限到无穷的类比,一步一步地从已知向未知过渡,通过合情推理,“猜出”了级数的和。并使用幂级数理论、微分、积分手段证明了猜出结果的正确性。通过简单的实例,展示了类比、归纳、合情推理这些重要思想方法在数学发现、数学创新中的重要作用。