[第1课]
运动、无穷和极限
主题:本讲通过求瞬时速度(无穷小),无穷多个数相加,兔子和乌龟赛跑等三个具体例子,说明由于运动和无穷引入了数学,无穷的不可到达性,在数学上可能引起的很多混乱。从微积分的严密化引出了微积分学的基础——极限理论,本讲将历史发展与现在的学科系统相结合,以直观生动的方式引进抽象概念,并根据极限理论揭示无穷和有限的关系。
[第2课]
用有限刻画无穷——从欧几里得第五公设到极限的定义
主题:数学刻画无穷的重要手段是极限。但是为什么要采取 ε-N、ε-δ 这样“有些奇怪”的语言来描述极限过程呢?本讲把问题回溯到古希腊时期,通过分析欧几里得的平行公设如何使用特别措辞,十分巧妙地处理无穷和有限的关系,说明今天的数学思想正是古希腊数学文化的一种传承。用有限的数量关系,肯定的语言描述了极限这样一个无穷的变动过程,使不可能达到的无穷状态利用有限的数字加以验证和刻画。
[第3课]
牛顿-莱布尼茨公式(微积分基本定理)
主题:这一讲采用了“原汁原味”的(但是简明易懂的)数学方式来研究问题。1.通过实例,一步一步地抽象出定积分的定义;2. 从速度函数、路程函数的实例中“看到”微分、积分的内在联系,通过“联想”导出牛顿-莱布尼茨公式;3.简单演示了严格的数学证明。使听众感悟到数学研究的思想方法,展示了严格的数学描述的魅力。
[第5课]
无穷级数求和——类比与猜想
主题:无穷级数理论是数学分析中的重要内容。本讲从两个级数求和的例子出发,通过中学数学的韦达定理(根和系数关系),运用类比和猜想,特别是从有限到无穷的类比,一步一步地从已知向未知过渡,通过合情推理,“猜出”了级数的和。并使用幂级数理论、微分、积分手段证明了猜出结果的正确性。通过简单的实例,展示了类比、归纳、合情推理这些重要思想方法在数学发现、数学创新中的重要作用。