[第1课]
运动、无穷和极限
主题：本讲通过求瞬时速度（无穷小），无穷多个数相加，兔子和乌龟赛跑等三个具体例子，说明由于运动和无穷引入了数学，无穷的不可到达性,在数学上可能引起的很多混乱。从微积分的严密化引出了微积分学的基础——极限理论，本讲将历史发展与现在的学科系统相结合，以直观生动的方式引进抽象概念，并根据极限理论揭示无穷和有限的关系。
[第2课]
用有限刻画无穷——从欧几里得第五公设到极限的定义
主题：数学刻画无穷的重要手段是极限。但是为什么要采取 ε-N、ε-δ 这样“有些奇怪”的语言来描述极限过程呢？本讲把问题回溯到古希腊时期，通过分析欧几里得的平行公设如何使用特别措辞，十分巧妙地处理无穷和有限的关系，说明今天的数学思想正是古希腊数学文化的一种传承。用有限的数量关系，肯定的语言描述了极限这样一个无穷的变动过程，使不可能达到的无穷状态利用有限的数字加以验证和刻画。
[第3课]
牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理）
主题：这一讲采用了“原汁原味”的（但是简明易懂的）数学方式来研究问题。1.通过实例，一步一步地抽象出定积分的定义；2. 从速度函数、路程函数的实例中“看到”微分、积分的内在联系，通过“联想”导出牛顿-莱布尼茨公式；3.简单演示了严格的数学证明。使听众感悟到数学研究的思想方法，展示了严格的数学描述的魅力。
[第4课]
极大和极小——问题的转化与化归
主题：极值问题是数学研究的重要内容之一，化归方法是数学方法论中的基本方法之一。本讲从3个实际问题出发，重点讲解如何转换观点、使用化归的方法研究数学问题。包括最佳视角问题，光线传播问题，特别是通过研究最速下降曲线的例子，使用微元法把问题线性化，再运用化归的数学方法把它转换为已知的光线折射定理，导出曲线满足的微分方程。例子生动有趣，展示了数学的发展脉络。
